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摘要：

1，Floyd算法的介绍和实现步骤

2，Floyd算法的代码实现和优化

3，Floyd算法最短路径打印

4，Floyd算法为什么要先遍历中间顶点 k 

1，Floyd算法的介绍和实现步骤

在前面我们讲过迪杰斯特拉算法，Bellman-Ford算法以及SPFA算法，这些都是求单源点最短路径，也就是从计算从一个点到其他所有点的最短路径。而弗洛伊德(Floyd-Warshall)算法是求多源点最短路径的，就是求任意两个顶点之间的最短距离，可以有负权边都不能有负权回路。

我们来思考这样一个问题，如果知道 A 到 B 的距离是 x ，这个 x 可能是一个确定的值，也可能是无穷大，怎么才能使 x 的值变小呢？

唯一的解决方式就是找一个中转点 C ，判断 A 到 C 的距离加上 C 到 B 的距离是否小于 A 到 B 的距离，如果小于，就更新 A 到 B 的值，如果不小于， A 到 B 的值就不变。

如下图所示，A 到 B 的直线距离是 9 ，如果经过顶点 C 中转，距离就会变成 7 。

只需要把所有的点都作为中转点枚举一遍即可，很明显这是一道动态规划的问题，我们定义 dp[k][i][j] 表示经过前 k 个顶点从 i 到 j 的最短距离。

1，如果不经过第 k 个顶点中转，那么：

      dp[k][i][j]=dp[k-1][i][j]。

2，如果经过第 k 个顶点中转，那么：

      dp[k][i][j]=dp[k-1][i][k]+dp[k-1][k][j]。

只需要取他们的最小值即可，也就是：

dp[k][i][j] = min(dp[k - 1][i][j], dp[k - 1][i][k] + dp[k - 1][k][j]);

我们来画个图看下：