洛谷 P5201 [USACO19JAN] Shortcut G

题意

在一个带权无向连通图上，每个点有 $a_i$ 只奶牛，奶牛会走最短路径到 $1$，如果有多条路径，选择字典序最小的，定义移动总时间为所有奶牛走到 $1$ 的时间之和。你可以修建一条从任意一点到 $1$ 的边权为 $t$ 的边，奶牛只有在平时走到 $1$ 的路上看到这条边才会走。求最多能减少多少移动总时间。

题解

题目保证了对于每个点都有唯一的路径走到 $1$，那么可以建出一棵树，根节点为 $1$。

然后统计一下子树中奶牛数量总和，对于每个点尝试建时间为 $t$ 的新边，可以 $O(1)$ 求出减少的移动总时间。设 $j$ 为 $i$ 的子树中的节点，则减少的时间为 $(di{s}_i-t)\sum _j{a}_j$。

时间复杂度 $O(n)$。

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N = 50005;
int n, m, t, a[N], vis[N];
LL dis[N], cnt[N], ans = 0;
int cn1 = 0, fi1[N], nx1[N << 1], to1[N << 1], va1[N << 1], cn2 = 0, fi2[N], nx2[N << 1], to2[N << 1];
void ad1(int u, int v, int w) {cn1++, nx1[cn1] = fi1[u], fi1[u] = cn1, to1[cn1] = v, va1[cn1] = w; cn1++, nx1[cn1] = fi1[v], fi1[v] = cn1, to1[cn1] = u, va1[cn1] = w;
}
void ad2(int u, int v) { cn2++, nx2[cn2] = fi2[u], fi2[u] = cn2, to2[cn2] = v; }
struct node {int r;LL dis;bool operator < (const node &T) const { return dis > T.dis; }
};
priority_queue<node> pq;
void dij(int r) {memset(dis, 0x3f, sizeof(dis)), dis[r] = 0;pq.push((node){r, 0});while (!pq.empty()) {node h = pq.top();pq.pop();if (vis[h.r]) continue;vis[h.r] = 1;for (int i = fi1[h.r]; i; i = nx1[i])if (dis[to1[i]] > dis[h.r] + va1[i])dis[to1[i]] = dis[h.r] + va1[i], pq.push((node){to1[i], dis[to1[i]]});}
}
void dfs(int r) {cnt[r] = a[r];for (int i = fi2[r]; i; i = nx2[i]) dfs(to2[i]);for (int i = fi2[r]; i; i = nx2[i]) cnt[r] += cnt[to2[i]];if (t < dis[r]) ans = max(ans, (dis[r] - t) * cnt[r]);
}
int main() {scanf("%d%d%d", &n, &m, &t);for (int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d", &a[i]);for (int i = 1, u, v, w; i <= m; i++) scanf("%d%d%d", &u, &v, &w), ad1(u, v, w);dij(1);for (int i = 2; i <= n; i++) {int x = n;for (int j = fi1[i]; j; j = nx1[j])if (dis[i] == dis[to1[j]] + va1[j])x = min(x, to1[j]);ad2(x, i);}dfs(1);printf("%lld", ans);return 0;
}