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S变换的提出

1996年，由R.G Stockwell 提出了S变换，和其他时频分析工具一样，通过S变换，我们可以同时从时域以及频域观察一个信号的能量分布。S变换融合了短时傅里叶变换和小波变换的优点。关于S变换，最早发表于TSP上的文章Localization of the complex spectrum: the S transform：
Stockwell R G , Mansinha L , Lowe R P . Localization of the complex spectrum: the S transform[J]. IEEE Transactions on Signal Processing, 2002, 44(4):998-1001.
S变换采用高斯函数作为窗，且该时间窗和频率有关，在低频部分时窗较大，在高频部分时窗时窗较小。作为线性时频分析方法，它的频率分辨率和时间分辨率无法同时达到最优。
由于在高频时，时窗较小，当信号在高频比较丰富时，S变换得到的时频分辨率就会出现比较严重的混叠现象。

S变换的定义

对应信号$x(t)\in L^2(R)$，$L^2(R)$为能量有限函数空间，$x(t)$的S变换的表达式为
$$S(\tau ,f)={\int }_{-\infty }^{+\infty }x(t)\frac{|f|}{\sqrt{2\pi }}{\mathrm{e}}^{-\frac{(t-\tau {)}^2{f}^2}{2}}{\mathrm{e}}^{-j2\pi ft}dt$$
式中，$x(t)$是关于时间的连续函数，$\tau$是一个控制参数，用来确定高斯窗在时间轴上的位置，$f$是频率。其中高斯窗函数定义为：
$$\omega (t,f)=\frac{1}{\sigma (f)\sqrt{2\pi }}{\mathrm{e}}^{-\frac{t^2}{2\sigma (f{)}^2}}$$
窗口的标准差为：
$$\sigma (f)=\frac{1}{|f|}$$
由上式可以看出，标准差$\sigma (f)$为频率的函数，取值为绝对值的倒数。由此可知$\omega (t,f)$会随着频率的变换而自适应调整。

图1 不同频率对应的时窗 可以看到，随着频率的增大，高斯窗的方差逐渐减小，窗的宽度也随之变小。因此时窗宽度与频率成反比。此外，S变换还具有不受线性交叉项的影响和无损可逆性的优点，即可根据S变换得到的时频分布无损地还原被分析的时域信号。