前提假设

1. 因为常见的信贷产品还款期数定义都是按照月，假设只借一期的利率（月利率）为r，在此条件下，研究不同还款方式下的APR和IRR计算结果与r、期数n、本金C这几个变量的关系；
2. 约束条件：1)月利率为r；2)在第n期期末结束时，还清所有本息；
3. IRR：根据净现值等于0时的折现率计算出实际月利率，$IRR=12r_{act}$；
4. APR：年化利率，以一年（12个月）为计息长度时，利息总和占本金的百分比；

一次性还本付息

5. 计算现金流：
   $P_i=\{\begin{array}{l}-C,i=0\\ 0,0<i<n\\ C+Crn,i=n\end{array}$
6. 计算IRR：${\sum }_{i=0}^n\frac{P_i}{(1+r_{act}{)}^i}=0$，求得$IRR=((1+rn{)}^{1/n}-1)\ast 12$；
7. 计算APR：利息总和*12/C/n，求得$APR=12r$;

先息后本

8. $P_i=\{\begin{array}{l}-C,i=0\\ Cr,0<i<n\\ C+Cr,i=n\end{array}$
9. 计算IRR：${\sum }_{i=0}^n\frac{P_i}{(1+r_{act}{)}^i}=0$，$-C+Cr(\frac{1}{(1+r_{act}{)}^1}+...+\frac{1}{(1+r_{act}{)}^{n-1}})+\frac{C+Cr}{(1+r_{act}{)}^n}=0$，简化得$(r_{act}-r)=(r_{act}-r)(1+r_{act}{)}^n$，得$IRR=12r$；
10. 计算ARR：利息总和*12/C/n，求得$APR=12r$；

等额本息

11. $P_i=\{\begin{array}{l}-C,i=0\\ C\frac{r(1+r{)}^n}{(1+r{)}^n-1},0<i<=n\end{array}$
12. 本质上等额本息的利息计算就是在考虑复利情况下计算出来的，所以$IRR=12r$；
13. 计算APR：利息总和*12/C/n，求得$APR=(\frac{r(1+r{)}^n}{(1+r{)}^n-1}-\frac{1}{n})\ast 12$;

等额本金

14. $P_i=\{\begin{array}{l}-C,i=0\\ \frac{C}{n}+\frac{n+1-i}{n}Cr=\frac{1+(n+1-i)r}{n}C,0<i<=n\end{array}$
15. 计算IRR：${\sum }_{i=0}^n\frac{P_i}{(1+r_{act}{)}^i}=0$，$-C+C{\sum }_{i=1}^n(\frac{1+(n+1-i)r}{n})\frac{1}{(1+r_{act}{)}^i}=0$，使用数值方法求解IRR，IRR与C无关，与r和n有关；实际计算可得，近似$IRR=12r$;
16. 计算APR：利息总和*12/C/n，求得$APR=\frac{6r(n+1)}{n}$;

简单二分法求解IRR的程序

输入：现金流list；
输出：IRR；

def cal_irr(cash_flow_list):r_min, r_max = 0,2flag = Falsecnt = 0while((flag==False)&(cnt<=100)):cnt += 1r = (r_min + r_max) / 2npv = 0for ix,i in enumerate(cash_flow_list):npv += i/(1+r)**ixif abs(npv)<=0.00001:flag = Truebreakelse:if npv>0:r_min = relse:r_max = rreturn r*12

汇总

还款方式	IRR	APR
一次性还本付息	$((1+rn{)}^{1/n}-1)\ast 12$	$12r$
先息后本	$12r$	$12r$
等额本息	$12r$	$(\frac{r(1+r{)}^n}{(1+r{)}^n-1}-\frac{1}{n})\ast 12$
等额本金	${\sum }_{i=1}^n\frac{1+(n+1-i)r}{n(1+r_{act}{)}^i}-1=0$的解$r_{act}$乘以12，$\approx 12r$	$\frac{6r(n+1)}{n}$

实验对比

• 以月利率r（取0.005，0.01，0.03），期数n（取1、6、12、24、240），还款方式为自变量，APR和IRR为因变量，对比结果如如下。

1. IRR计算结果：
   

2. APR计算结果：
   

3. r=1%，n=12时，各还款方式下IRR和APR对比：
   

4. r=1%，等额本金和等额本息还款方式下APR随着期数n的变化：
   （1）等额本金，APR随着n的增大单调递减，最终趋近6r；
   （2）等额本息，APR随着n的增大先下降再上升，最终趋近12r；
   （3）等额本息APR > 等额本息APR。
   

5. r=1%，本金C=30w，贷款36期（3年），月供流水对比：