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第二门课: 改善深层神经网络：超参数调试、正 则 化 以 及 优 化 (Improving Deep Neural Networks:Hyperparameter tuning, Regularization and Optimization)

第二周：优化算法 (Optimization algorithms)

2.3 指数加权平均数（Exponentially weighted averages）

我想向你展示几个优化算法，它们比梯度下降法快，要理解这些算法，你需要用到指数加权平均，在统计中也叫做指数加权移动平均，我们首先讲这个，然后再来讲更复杂的优化算法。

虽然现在我生活在美国，实际上我生于英国伦敦。比如我这儿有去年伦敦的每日温度，所以1 月 1 号，温度是 40 华氏度，相当于 4 摄氏度。我知道世界上大部分地区使用摄氏度，但是美国使用华氏度。在 1 月 2 号是 9 摄氏度等等。在年中的时候，一年 365 天，年中就是
说，大概 180 天的样子，也就是 5 月末，温度是 60 华氏度，也就是 15 摄氏度等等。夏季温度转暖，然后冬季降温。

你用数据作图，可以得到以下结果，起始日在 1 月份，这里是夏季初，这里是年末，相当于 12 月末。这里是 1 月 1 号，年中接近夏季的时候，随后就是年末的数据，看起来有些杂乱，如果要计算趋势的话，也就是温度的局部平均值，或者说移动平均值。

你要做的是，首先使𝑣0 = 0，每天，需要使用 0.9 的加权数之前的数值加上当日温度的0.1 倍，即𝑣1 = 0.9𝑣0 + 0.1𝜃1，所以这里是第一天的温度值。第二天，又可以获得一个加权平均数，0.9 乘以之前的值加上当日的温度 0.1 倍，即𝑣2 =0.9𝑣1 + 0.1𝜃2，以此类推。第二天值加上第三日数据的 0.1，如此往下。大体公式就是某天的𝑣等于前一天𝑣值的 0.9加上当日温度的 0.1。

如此计算，然后用红线作图的话，便得到这样的结果。

看一下上一张幻灯片里的公式，𝑣𝑡 = 0.9𝑣𝑡−1 + 0.1𝜃𝑡，我们把 0.9 这个常数变成𝛽，将之
前的 0.1 变成(1 − 𝛽)，即$$v_t=\beta v_{t-1}+(1-\beta ){\theta }_t$$

由于以后我们要考虑的原因，在计算时可视𝑣𝑡大概是 1(1−𝛽)的每日温度，如果𝛽是 0.9，你会想，这是十天的平均值，也就是红线部分。

我们来试试别的，将𝛽设置为接近 1 的一个值，比如 0.98，计算 1(1−0.98)= 50，这就是粗略平均了一下，过去 50 天的温度，这时作图可以得到绿线。

这个高值𝛽要注意几点，你得到的曲线要平坦一些，原因在于你多平均了几天的温度，所以这个曲线，波动更小，更加平坦，缺点是曲线进一步右移，因为现在平均的温度值更多，要平均更多的值，指数加权平均公式在温度变化时，适应地更缓慢一些，所以会出现一定延迟，因为当𝛽 = 0.98，相当于给前一天的值加了太多权重，只有 0.02 的权重给了当日的值，所以温度变化时，温度上下起伏，当𝛽 较大时，指数加权平均值适应地更缓慢一些。

我们可以再换一个值试一试，如果𝛽是另一个极端值，比如说 0.5，根据右边的公式（1(1−𝛽)），这是平均了两天的温度。

作图运行后得到黄线。

由于仅平均了两天的温度，平均的数据太少，所以得到的曲线有更多的噪声，有可能出现异常值，但是这个曲线能够更快适应温度变化。

所以指数加权平均数经常被使用，再说一次，它在统计学中被称为指数加权移动平均值，我们就简称为指数加权平均数。通过调整这个参数（𝛽），或者说后面的算法学习，你会发现这是一个很重要的参数，可以取得稍微不同的效果，往往中间有某个值效果最好，𝛽为中间值时得到的红色曲线，比起绿线和黄线更好地平均了温度。

现在你知道计算指数加权平均数的基本原理，下一个视频中，我们再聊聊它的本质作用。