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news 2026/4/6 9:45:16

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前言

在学习第一类换元法（凑微分法）时，我们常常需要凑微分。为了更加熟练地运用凑微分法，下面有几道凑微分例题供大家练习。

记住 $df (x) = f^{'} (x) d x$

例题1

$dx=‾d(ax)dx=\underline{\quad}d(ax)$
$dx=‾d(6x−4)dx=\underline{\quad}d(6x-4)$
$xdx=‾d(x2)xdx=\underline{\quad}d(x^2)$
$xdx=‾d(1−x2)xdx=\underline{\quad}d(1-x^2)$
$x2dx=‾d(4x3+3)x^2dx=\underline{\quad}d(4x^3+3)$

答案： $\qquad(2)\dfrac 16 \qquad(3)\dfrac 12\qquad (4)-\dfrac 12 \qquad(5)\dfrac {1}{12}$

例题2

$exdx=‾d(3ex)e^xdx=\underline{\quad}d(3e^x)$
$e2xdx=‾d(e2x)e^{2x}dx=\underline{\quad}d(e^{2x})$
$ex2dx=‾d(ex2+3)e^{\frac x2}dx=\underline{\quad}d(e^{\frac x2}+3)$
$1xdx=‾d(3ln⁡∣x∣)\dfrac 1xdx=\underline{\quad}d(3\ln|x|)$
$2xdx=‾d(5−4ln⁡∣x∣)\dfrac 2xdx=\underline{\quad}d(5-4\ln|x|)$

答案： $(1)13(2)12(3)2(4)13(5)−12(1)\dfrac 13 \qquad(2) \dfrac 12 \qquad(3)2 \qquad(4)\dfrac 13 \qquad(5)-\dfrac 12$

例题3

$sin⁡xdx=‾d(cos⁡x)\sin xdx=\underline{\quad}d(\cos x)$
$cos⁡23xdx=‾d(sin⁡23x)\cos \dfrac 23xdx=\underline{\quad}d(\sin \dfrac 23x)$
$11−x2dx=‾d(1−arcsin⁡x)\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx=\underline{\quad}d(1-\arcsin x)$
$11+9x2dx=‾d(arctan⁡3x)\dfrac{1}{1+9x^2}dx=\underline{\quad}d(\arctan 3x)$
$x1−x2dx=‾d(1−x2)\dfrac{x}{\sqrt{1-x^2}}dx=\underline{\quad}d(\sqrt{1-x^2})$