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引言

暑假接近尾声了，争取赶一点概率论部分的进度。

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一、一维随机变量及其分布

1.1 随机变量

设随机试验 $E$ 的样本空间为 $\Omega$ ，$X$ 为定义于样本空间 $\Omega$ 上的函数，对于任意 $w\in \Omega$ ，总存在唯一确定的 $X(w)$ 与之对应，称 $X(w)$ 为随机变量，一般记为 $X$ 。

随机变量一定的取值范围本质上就是随机事件，若随机变量某个范围内取不到任何值，本质上为不可能事件，若某个范围包含了随机变量所有可能的取值，本质上就是必然事件。

1.2 分布函数

设 $X$ 为随机变量，对任意的实数 $x$ ，称函数 $F(x)=P$ { $X\le x$ } 为随机变量 $X$ 的分布函数。

其有如下四个性质：

（1）$0\le F(x)\le 1;$

（2）$F(x)$ 是 $x$ 的单调不减函数；

（3）$F(x)$ 关于 $x$ 右连续；

（4）$F(-\infty )=0,F(+\infty )=1.$

若有一个函数满足以上四个条件，可称其为某个随机变量的分布函数。如 $F(3x-1)$ 仍为分布函数，但 $F(1-3x)$ 不是分布函数，当 $x\to +\infty$ ，$F(1-3x)$ 极限为 0 不为 1 ；$F(x^2)$ 也不是分布函数，因为当 $x\to +\infty$ ，$F(x^2)$ 极限为 1 不为 0 。

设随机变量 $X$ 的分布函数为 $F(x)$ ，则
（1）$P$ { $X<a$ } $=F(a-0);$
（2）$P$ { $a<X\le b$ } $=F(b)-F(a);$
（3）$P$ { $a\le X<b$ } $=F(b-0)-F(a-0);$
（4）$P$ { $a\le X\le b$ } $=F(b)-F(a-0);$
（5）$P$ { $a<X<b$ } $=F(b-0)-F(a);$
（6）$P$ { $X=a$ } $=F(a)-F(a-0);$

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二、随机变量常见类型及分布

2.1 离散型随机变量

设 $X$ 为随机变量，若 $X$ 的可能取值是有限个或可列个，称 $X$ 为离散型随机变量。

设离散型随机变量 $X$ 的可能取值为 $x_i(i=1,2,\dots )$ ，其对应的概率为 $P$ { $X=x_i$ } $=p_i$ ，称 $P$ { $X=x_i$ } $=p_i$ 或下表

为随机变量 $X$ 的分布律。

离散型随机变量 $X$ 的分布律满足：
（1）$p_i\ge 0(i=1,2,\dots ).$
（2）${\sum }_{i=1}^{+\infty }{p}_i=1.$
（3）分布函数 $F(x)=P$ { $X\le x$ } 为阶梯函数，且 $F(x)$ 的间断点即为随机变量 $X$ 的可能取值。

什么是阶梯函数呢，就是图像是像台阶那样的。举个例子，记随机变量 $X$ 为投掷一枚均匀的骰子朝上的点数，则 $X$ 可取 $1,2,3,4,5,6$ ，且 $P$ { $X=i$ } $=\frac{1}{6}(i=1,2,\dots ,6)$ ，其分布律如下表所示：

分布函数图像为：

注意，阶梯是先右再上的阶梯，因为是离散的取值，所以在两个取值之间的分布函数值应为前一个取值所对应函数值。

2.2 连续型随机变量及概率密度函数

设随机变量 $X$ 的分布函数为 $F(x)$ ，若存在非负、可积的函数 $f(x)$ ，使得对任意实数 $x$ ，有 $$F(x)={\int }_{-\infty }^{x}f(t)dt,$$ 称 $X$ 为连续型随机变量，函数 $f(x)$ 为随机变量 $X$ 的概率密度函数或概率密度。

连续型随机变量概率密度有如下结论：

（1）$f(x)\ge 0;$

（2）${\int }_{-\infty }^{+\infty }f(t)dt=1;$

（3）分布函数 $F(x)$ 为连续函数，但不一定可导；

（4）$P$ { $X=a$ } $=F(a)-F(a-0)=0$ ，故连续型随机变量在任意一点处的概率为 0 。

（5）设分布函数为 $F(x)$ ，则概率密度函数为 $$f(x)=\{\begin{array}{ll}{F}^{\prime }(x),& x\text{为}F(x)的可导点\\ 0,& x为F(x)的不可导点\end{array}$$ （6）存在既不是离散型又不是连续型的随机变量，如随机变量 $X$ 的分布函数表达式为 $$F(x)=\{\begin{array}{ll}0,& \text{if }x<0\\ \frac{x}{2},& \text{if }0\le x<1\\ 1& \text{if }x\ge 1\end{array}$$ 显然 $F(x)$ 满足分布函数的四个特性，但其不是阶梯函数，所以 $X$ 非离散型随机变量。又因为 $F(x)$ 存在间断点，所以 $X$ 也非连续型随机变量，其图像如下图所示。

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写在最后

下一篇我们将介绍一些常见的随机变量分布。