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QR和RQ分解

记$A$为方阵，$P,Q$分别为正交单位阵和上三角阵，则形如$A=QR$的分解为QR分解；形如$A=RQ$的分解为RQ分解。

在scipy.linalg中，为二者提供了相同的参数，除了待分解矩阵a之外，还有下列参数

• overwrite_a 默认为False，为True时，将在矩阵分解时覆盖a的值
• lwork 工作数组的尺寸
• mode 默认'full'，用于调整返回值，可选4个参数
  • 'full'：返回$Q$和$R$
  • 'r'：返回$R$
  • 'economic'：返回$Q$和$R$，但是合并在一起
  • 'raw'：返回$Q$和$TAU$矩阵
• pivoting 默认False，当为True时，计算$AP=QR$，但要求选择合适的$P$，从而让$R$的对角线非递增
• check_finite 默认为True，表示检查是否有限

import numpy as np
import scipy.linalg as sl
A = np.random.rand(3,3)
q1,r1 = sl.qr(A)
r2,qr = sl.rq(A)

结果得到$q_1$和$q_2$分别为，可见二者并不相等。

$$\begin{gathered} q_1=\left[\begin{array}{ccc}-0.659450021160935& 0.749759308692653& 0.0546502389707366\\ -0.180811070132312& -0.0876283110599659& -0.979606367893955\\ -0.729680085043063& -0.65588280822834& 0.193351274529173\end{array}\right] \\ {q}_2=\left[\begin{array}{ccc}0.377636504144627& -0.925556186272606& 0.0271370003857254\\ -0.0674267508884556& 0.00174208653633345& 0.99772270616596\\ -0.923495697879558& -0.378606274627098& -0.0617493709355736\end{array}\right] \end{gathered}$$

但是$q_1{r}_1$的确是等于$r_2{q}_2$的。

>>> q1@r1
array([[0.81677429, 0.63368526, 0.84867074],[0.22394697, 0.10848293, 0.58357567],[0.90375906, 0.37051483, 0.06042968]])
>>> q2@r2
array([[-0.09631134, -0.22572231, -0.15900946],[ 0.01719633, -0.05246553, -0.90632485],[ 0.23552571, -0.94691613,  1.13446376]])
>>> r2@q2
array([[0.81677429, 0.63368526, 0.84867074],[0.22394697, 0.10848293, 0.58357567],[0.90375906, 0.37051483, 0.06042968]])

其他函数

除了qr和rq这两个函数外，scipy.linalg还提供了其他与qr分解相关的函数。

qr_multiply(a,c)，在对$A$进行$QR$分解之后，返回$CQ$，其参数中，overwrite_a, overwrite_c, privoting与qr函数中的作用相同，或可类比。此外，还有其他两个参数

• mode 可选left或right，分别表示返回$QC$或$CQ$
• conjugate 为True时，返回Q的复共轭

qr_update(Q, R, u, v)，若$A=QR$是QR分解，则返回$A+u{v}^T$的QR分解。此函数也支持overwrite_qruv, check_finite参数。

qr_delete(Q,R,k,p)和qr_insert(Q,R,u,k)分别用于矩阵的删减和增添，对于$A=QR$而言，前者从第$k$行/列删掉$p$行/列；后者在第$k$行/列插入$U$。

这两个函数均支持check_finite，覆写开关分别是overwrite_qr和overwrite_qru，通过which来调整插入/删除的是行还是列，即which='row'时，针对行操作，为'cols'时，针对列操作。