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传递函数的推导和理解

假设有一个线性系统，在一般情况下，它的激励$x(t)$与响应$y(t)$所满足的的关系，可用下列微分方程来表示：
$$\begin{array}{l}{a}_n{y}^{(n)}+a_{n-1}{y}^{(n-1)}+a_{n-2}{y}^{(n-2)}+\cdots +a_1{y}^{\prime }+a_{0}y\\ =b_m{x}^{(\mathrm{m})}+b_{m-1}{x}^{(\mathrm{m}-1)}+b_{m-2}{x}^{(\mathrm{m}-2)}+\cdots +b_1{x}^{\prime }+b_{0}x\end{array}\text{\hspace{1em}(1)}$$
其中，$a_0,a_1,\cdots ,a_n,b_0,b_1,\cdots ,b_m$均为常数，$m,n$为正整数，$n\ge m$

设$\mathcal{L}[y(t)]=Y(s),\mathcal{L}[x(t)]=X(s)$,根据Laplace变换的微分性质，有

$$\begin{gathered} \mathcal{L}[a_k{y}^{(k)}]=a_k{s}^{k}Y(s)-a_k[s^{k-1}y(0)+s^{k-2}{y}^{\prime }(0)+s^{k-3}{y}^{\prime \prime }(0)+\cdots +s^{k-(k-1)}{y}^{(k-2)}(0)+s^0{y}^{(k-1)}(0)] \\ (k=0,1,2,\cdots ,n) \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathcal{L}[b_k{x}^{(k)}]=b_k{s}^{k}X(s)-b_k[s^{k-1}x(0)+s^{k-2}{x}^{\prime }(0)+s^{k-3}{x}^{\prime \prime }(0)+\cdots +s^{k-(k-1)}{x}^{(k-2)}(0)+s^0{x}^{(k-1)}(0)] \\ (k=0,1,2,\cdots ,m) \end{gathered}$$

对式子（1）两边进行Laplace变换并通过整理，可得：
$$D(s)Y(s)-M_{hy}(s)=M(s)X(s)-M_{hx}(s)$$
即：
$$Y(s)=\frac{M(s)}{D(s)}X(s)+\frac{M_{hy}(s)-M_{hx}(s)}{D(s)}\text{\hspace{1em}(2)}$$
其中，
$$D(s)=a_n{s}^n+a_{n-1}{s}^{n-1}+\cdots +a_{1}s+a_0,$$
$$M(s)=b_m{s}^m+b_{m-1}{s}^{m-1}+\cdots +b_{1}s+b_0,$$

$$M_{hy}(s)=a_{n}y(0)s^{n-1}+[a_n{y}^{\prime }(0)+a_{n-1}y(0)]s^{n-2}+[a_n{y}^{\prime \prime }(0)+a_{n-1}{y}^{\prime }(0)+a_{n-2}y(0)]s^{n-3}+\cdots +[a_n{y}^{(n-2)}(0)+a_{n-1}{y}^{(n-3)}(0)+\cdots +a_{2}y(0)]s+[a_n{y}^{(n-1)}(0)+a_{n-1}{y}^{(n-2)}(0)+\cdots +a_{1}y(0)],$$

$$M_{hx}(s)=b_{m}x(0)s^{m-1}+[b_m{x}^{\prime }(0)+b_{m-1}x(0)]s^{m-2}+[b_m{x}^{\prime \prime }(0)+b_{m-1}{x}^{\prime }(0)+b_{m-2}x(0)]s^{m-3}+\cdots +[b_m{x}^{(m-2)}(0)+b_{m-1}{x}^{(m-3)}(0)+\cdots +b_{2}x(0)]s+[b_m{x}^{(m-1)}(0)+b_{m-1}{x}^{(n-2)}(0)+\cdots +b_{1}x(0)],$$

若令$G(s)=\frac{M(s)}{G(s)}$，$G_h(s)=\frac{M_{hy}(s)-M_{hx}(s)}{D(s)}$,则式（2）可写为：
$$Y(s)=G(s)X(s)+G_h(s)\text{\hspace{1em}(3)}$$

式子中：
$$G(s)=\frac{b_m{s}^m+b_{m-1}{s}^{m-1}+\cdots +b_{1}s+b_0}{a_n{s}^n+a_{n-1}{s}^{n-1}+\cdots +a_{1}s+a_0}\text{\hspace{1em}(4)}$$
我们称$G(s)$为系统的传递函数。它表达了系统本身的特性，而与激励及系统的初始状态无关。
但是$G_h(s)$则由激励和系统本身的初值条件所决定。若这些初始条件全为0，即$G_h(s)$=0时，式子（3）可写成：
$$\begin{array}{l}Y(s)=G(s)X(s)或G(s)=\frac{Y(s)}{X(s)}\end{array}\text{\hspace{1em}(5)}$$

式子（5）表明，在零初值条件下，系统的传递函数等于其响应的Laplace变换与其激励的Laplace变换之比。

因此，当我们知道系统的传递函数后，就可以由系统的激励按照式子（3）或式子（5）求出其响应的拉普拉斯变换$Y(s)$,再通过求逆变换可得其响应$y(t)$。

系统的激励$x(t)$,系统的响应$y(t)$,以及它们的拉普拉斯变换$X(s)$,$Y(s)$和传递函数的关系如图1所示。

图1 系统激励、响应以及传递函数之间的关系

需要说明的是，传递函数不表明系统的物理性质。许多性质不同的物理系统，可以有相同的传递函数。而传递函数不同的物理系统，即使系统的激励相同，其响应也是不相同的，因此，对传递函数的分析和研究，就能统一处理各种物理性质不同的额线性系统。
简而言之，通过对系统微分方程进行拉普拉斯变换，推导出了系统的传递函数$G(s)$。