本篇文章介绍了符号距离函数Signed Distance Funciton(SDF)，占用场Occupancy Field，神经辐射场Neural Radiance Field（NeRF）的概念、联系与区别。

显式表示与隐式表示

三维空间的表示形式可以分为显式和隐式。

比较常用的显式表示比如体素Voxel，点云Point Cloud，三角面片Mesh等。

比较常用的隐式表示有 符号距离函数Signed Distance Funciton(SDF)，占用场Occupancy Field，神经辐射场Neural Radiance Field（NeRF） 等。

本文将对几种隐式表示进行介绍，并以我本人的理解讲一讲它们的联系和区别。

概述

首先，对这三种隐式表示进行概述，帮助大家对三种表示有一个大致的认识，这里看不懂没关系，后面有更加详细的介绍。

函数function与场field

先回顾一下函数和场的概念，我认为函数和场实际上都是代表了一种映射关系。

函数 f(x)=y 是自变量 x 到因变量 y 的映射。

场的定义是向量到向量或数的映射，空间中的场可以认为是空间中点到这个点的属性的映射。以磁场为例，磁场就是空间中每个点都具有一个磁感应矢量B，也就是点到向量的映射，即空间中每个点都映射到一个特定的向量$B$。在其他情况下，点不一定映射到向量，也可以映射到标量或者其他属性，只要是空间中点到属性的映射都是空间场。（ 一般用坐标 $(x,y,z)$表示空间中的点，所以点到属性的映射实际上是$(x,y,z)$到属性$s$的映射，如场$F:(x,y,z)\to s$，这里的$s$可以是向量也可以是标量）

本文讲的三种隐式表示都可以看做是一种映射关系，而且我们都可以用神经网络去拟合这种映射关系，达到用神经网络去表示三维空间的目的。

Signed Distance Funciton（SDF）

Signed Distance Funciton对应的中文是“符号距离函数”，我们更常见到的是它的缩写SDF。

SDF表示一个点到一个曲面的最小距离，同时用正负来区分点在曲面内外。点在曲面内部则规定距离为负值，点在曲面外部则规定距离为正值，点在曲面上则距离为0.

SDF的映射关系如下：

这里$x$是个三维向量，代表三维空间中的点，$s$是一个值。也就是说$SDF$实际上是一个点到一个值的映射。

相应的 $s<0$ 则表示 $x$ 在曲面内，$s>0$表示 $x$ 在曲面外，$s=0$表示 $x$ 在曲面上。我们就可以用 $SDF(x)=0$ 来表示一个曲面。

Occupancy Field

占用场表示一个点是否被曲线占用（占用就是在曲面内部）。

占用场的映射关系如下：

这里的$p$是空间中的点，$s$表示$p$被曲面占用的概率。可以看到占用场的映射关系和SDF是一致的，它和SDF的区别在于，占用场的$s$的取值是$[0,1]$，即必须在0,1之间，所以占用场是将一个三维空间映射到$[0,1]$，即：

通常以0.5为标准，即占用概率$s$大于0.5我们倾向于认为点被曲面占用，$s$小于0.5我们倾向于认为点没有被曲面占用，$s$等于0.5我们认为点在曲面上。所以我们可以用 $F(p)=0.5$ 在连续的三维占用场中表示一个曲面。

Neural Radiance Field

Neural Radiance Field 神经辐射场是这几年很火的概念，主要是由于NeRF以及后续系列工作的优异表现。

辐射场就是将“点+这个点发出的一条射线”映射到“点的密度值+射线的方向对应的颜色值”，映射关系如下：

$x,y,z$表示点坐标，$d$表示从这个点发出的一条射线的方向，$R,G,B$表示从这个射线的方向去看这个点的颜色值，$\sigma$表示这个点的密度值（比如烟雾的密度比较低，固体点的密度就很高）。

而神经辐射场，就是用神经网络去拟合辐射场的映射关系。

---

下面将详细介绍每个隐式表示：

Signed Distance Funciton（SDF）

SDF在2D和3D中都有应用，我们可以先看一下SDF在2D中的形式，了解其在2D上的应用会对理解其在3D中的表示有帮助。

Signed Distance Funciton表示带符号的距离函数，其实还有不带符号的距离函数，也就是Unsigned Distance Funciton，2D中的Unsigned Distance Funciton可以表示如下：

这里黑色的就是表示的形状，在Unsigned Distance Funciton下，形状内部的点的距离会被定义为0，而形状外部的点的值代表了这个点到形状的最短距离。

相对于Unsigned Distance Funciton，Signed Distance Funciton增加了正和负的概念，内部和外部的点的绝对值都代表了点到形状的距离，这时内部的点不再都是0，而是用负值表示，外部的点的值用正值表示。如下图所示：

这张图红色的表示在形状外部的点，绿色代表在形状内部的点，黑色代表边界，可以看到黑色两侧的点的值的正负发生了变化，也就是说$SDF=0$表示的曲线可以代表形状的边界。

理解了二维的SDF，就可以类推到三维的SDF，可以想象一个空间，空间中有正值和负值的点，而正负点的交界处就可以认为是空间曲面。

这里展示一张《DeepSDF: Learning Continuous Signed Distance Functions for Shape Representation》(CVPR2019)