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news 2026/4/6 20:54:06

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摘要就上节（即（一百八十五））内容，有读者来信，建议用另外一个大模型计算。本节详细讲解该大模型的对错，特别是涉及 Python Decimal的内容以及泰勒展式内容。

例1. 已知

$f(x)=\frac{\tan(x)-\sin(x)}{x-\sqrt{1+x^2}}\,, \, x_0=0.125\textup{e}-6\,.$

用大模型计算 $f(x_0)\,.$

下面是与第三个大模型的对话。

以上为大模型的输出。

点评：

（1）大模型使用 Python 的 decimal 模块来确保高精度计算。这比上节的大模型有一点进步。

（2）由于 Decimal中没有tan()、sin()等方法或函数，因此不得不先调用 math中函数。

（3）但是，math中的 tan、sin、sqrt函数，其正确的有效位数有个上限：一般不会超过16位有效数字。这个由 double类型决定。比如，math.sin(190)，虽然在内存中储存有0.9977992786806002545318960983422584831714630126953125（共52位有效数字），但是，只有前16位数字 “9977992786806002”是正确的。

（4）上述上限16决定了程序结果的短板：正确的有效数字位数不会超过它，虽然 getcontext().prec = 50 . 实际上，“getcontext().prec = 50”是白白设置了。

（5）“getcontext().prec = 50” 的注解：“设置精度为50位小数” 是错误的；应该是设置50位有效数字。

（6）同样，由于使用了 math, 那么 Decimal也是白白被浪费了。

（7）照这样计算下去，那么 tan(x0)与 sin(x0)均只有16位正确数字。而它们这些数字，即32位数字，几乎全部对应位置的数字相同。因此，相减后，正确数字所剩无几。再进行相除后，当然仍然没有几位正确数字。

（8）在Python 3.12中执行大模型的代码，则输出为50位的值：-9.7938196768552311641126445270730663791431933912047E-22 . 这样，正如所料，正确数字只有2位。因为，16位的正确结果为 -0.9765626220703239e-21（ISRealsoft 提供）。

（9）大模型似乎也知道这一点。因此，它利用泰勒展式进行了化简。它的化简过程基本是正确的。

（10）它的结果也基本正确。只有最后一位数字是错误的：不是'5', 而应是'6' .

（11）若是结果保留16位有效数字，那么该怎么办呢？

（12）首先，分母、分子均需保留最少16位有效数字。

（13）对于分母，在其化简中，应保留 $-\frac{x^2}{2}$ 。因为， $x$ 的指数是 $-6$ ；平方后也仅仅是 $-12$ ，即使再除以 $2$ ，也才 $-13$ 。这样的数与1相加减后，16位的结果中还保留3位左右呢。