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黄小宁

设集A=｛x｝表A各元均由x代表，｛x｝中变量x的变域是A。其余类推。因各数x可是数轴上点的坐标故x∈R变为实数y=x+1的几何意义可是：一维空间“管道”g内R轴上的质点x∈R(x是点的坐标)沿“管道”g平移变为点y=x+1。R可几何化为R轴，R各元可几何化为R轴各元点。

c=0.0001,R各元x保距变大为y=x+c>x组成元为y的｛y｝的几何意义可是：R轴即x轴各元点x沿“管道”g保距平移变为点y=x+c生成元为点y的y=x+c轴即x轴沿轴平移变为y=x+c轴（≌x轴）叠压在x轴上。自有函数概念几百年来数学一直认定定义域为R轴的y=x+c的值域=定义域。其实这是违反数集相等定义的几百年肉眼直观错觉。

数集相等及近似相等的定义（可有相应的点集相等及近似相等定义）：若A（B）各元x（y）有与之对应相等的元y（x）∈B（A）即A各元x与B各元y可一一对应相等：x↔y=x（恒等对应、变换）则称A=B；若可一一对应相等或近似相等则A≈B（例｛3，5，6｝≈｛3，5，6.001≈6｝）。集各元x变回自己称为集的恒等变换，各元x变为y=x或≈x称为集的近似恒等变换。本文最关键的论据：若A与B是同一集则A必能恒等变换地变为B=A，即必可有：x↔y=x。

上述x轴各元x与y=x+c轴各元y=x+c≈x一一对应近似相等使y轴≈x轴。各x变为y=x（y≈x或=x）是恒等（近似恒等）变换, x轴近似恒等变换地变为y=x+c（≈x）轴≈x轴。显然R各元x只能与各对应数x+c≈x+0中的x一一对应相等而与各x+c≈x本身一一对应近似相等。可见中学的数集相等及近似相等概念表明x轴沿轴平移变为y=x+d（d是正常数）轴≠x轴，当平移的距离≈0时y轴≈x轴。

若y′≈y则有共同横坐标的点（x，y）与点（x，y′）近似重合。直线y=x（y=x的变域是R）各元点p（x，y=x）保距升高变为点p′（x，y′=x+c）就使直线y=x平移变为元是点p′的直线y′=x+c（c=0.0001），这两∥直线近似重合的原因是两线各元点的纵标y=x与y′=x+c≈x一一对应近似相等：y=x↔y′=x+c≈x（↔两边的x是同一x）；显然若“一一对应相等”则两线必重合，所以两线不可重合形象直观地说明R各元x与各对应数x+c不能一一对应相等（即形象说明x轴沿本身平移变为y=x+c轴≠x轴）。同样可形象说明x轴沿本身拉伸变为y=1.0001x轴≠x轴；…。详论见黄小宁已在“预印本”上公布的相应数学论文。初等数学一直将无穷多各异假R误为R。

参考文献

[1]黄小宁。初等数学2300年之重大错误：将无穷多各异点集误为同一集——让中学生也能一下子认识3000年都无人能识的直线段[J]，考试周刊，2018（71）:58。