函数的极限又有6种极限过程:形式地记为 x → ∗ x\to{*} x→∗,其中 ∗ * ∗可能是:
x 0 , x 0 − , x 0 + x_0,x_0^{-},x_0^{+} x0,x0−,x0+
∞ , − ∞ , + ∞ \infin,-\infin,+\infin ∞,−∞,+∞
极限的主要问题
求给定数列或函数的极限值
证明给定数列或函数的极限是某个值(通常用极限的定义法作证明)
数列极限
数列极限的定义@ ( ϵ − N ) (\epsilon-N) (ϵ−N)语言描述
若对任何的 ϵ > 0 \epsilon>0 ϵ>0,若存在 N > 0 N>0 N>0,当 n > N n>N n>N时,有 ∣ a n − A ∣ < ϵ |a_{n}-A|<\epsilon ∣an−A∣<ϵ,称 A A A为数列 { a n } \set{a_{n}} {an}的极限,记为 lim n → ∞ a n = A \lim\limits_{n\to{\infin}}{a_n}=A n→∞liman=A或记为 x n → a ( n → ∞ ) x_n\rightarrow a(n\rightarrow \infin) xn→a(n→∞),不引起混淆的情况下,还可以简写为 x n → a x_n\to{a} xn→a
半形式化语言描述: ∀ ε > 0 , ∃ N > 0 , \forall \varepsilon>0,\exist N>0, ∀ε>0,∃N>0, when: n > N n>N n>N,then: ∣ a n − A ∣ < ε |a_n-A|<\varepsilon ∣an−A∣<ε,记为 lim n → + ∞ a n = A \lim\limits_{n\to{+\infin}}a_{n}=A n→+∞liman=A
极限表达式成立的证明
证明数列极限的常用方法是用数列极限的定义证明
若 lim n → ∞ x n = a \lim\limits_{n\to\infin}{x_n}=a n→∞limxn=a,则 lim n → ∞ ∣ x n ∣ = ∣ a ∣ \lim\limits_{n\to\infin}{|x_n|}=|a| n→∞lim∣xn∣=∣a∣
由条件, ∀ ϵ > 0 \forall{\epsilon}>0 ∀ϵ>0, ∃ N > 0 \exist{N>0} ∃N>0,当 n > N n>N n>N时有 ξ = ∣ x n − a ∣ < ϵ \xi=|x_n-a|<\epsilon ξ=∣xn−a∣<ϵ(1)
构造 Δ = ∣ ∣ x n ∣ − ∣ a ∣ ∣ \Delta=||x_n|-|a|| Δ=∣∣xn∣−∣a∣∣,只要说明 ∀ ϵ > 0 \forall{\epsilon}>0 ∀ϵ>0, ∃ N > 0 \exist{N>0} ∃N>0,当 n > N n>N n>N时有 Δ < ϵ \Delta<\epsilon Δ<ϵ,即可证明结论成立
由绝对值不等式, Δ < ∣ x n − a ∣ \Delta<|x_n-a| Δ<∣xn−a∣(2),(2)代入(1),得 Δ < ϵ \Delta<\epsilon Δ<ϵ,所以 lim n → ∞ ∣ x n ∣ = ∣ a ∣ \lim\limits_{n\to\infin}{|x_n|}=|a| n→∞lim∣xn∣=∣a∣
Note:该命题的逆命题不成立,因为 Δ < ϵ \Delta<\epsilon Δ<ϵ ⇏ \not\Rightarrow ⇒ ξ < ϵ \xi<\epsilon ξ<ϵ;例如: x n = ( − 1 ) n x_n=(-1)^n xn=(−1)n,则 lim n → ∞ ∣ x n ∣ = 1 = ∣ 1 ∣ \lim\limits_{n\to\infin}{|x_n|}=1=|1| n→∞lim∣xn∣=1=∣1∣;而 lim n → ∞ ( − 1 ) n \lim\limits_{n\to\infin}{(-1)^{n}} n→∞lim(−1)n不存在
推论:
若 lim n → ∞ x n = 0 \lim\limits_{n\to\infin}{x_n}=0 n→∞limxn=0,的充要条件是: lim n → ∞ ∣ x n ∣ = 0 \lim\limits_{n\to\infin}{|x_n|}=0 n→∞lim∣xn∣=0
有上结论可知必要性成立
充分性:若 lim n → ∞ ∣ x n ∣ = 0 \lim\limits_{n\to\infin}{|x_n|}=0 n→∞lim∣xn∣=0, ∀ ϵ > 0 \forall{\epsilon}>0 ∀ϵ>0, ∃ N > 0 \exist{N>0} ∃N>0,当 n > N n>N n>N时有 Δ = ∣ ∣ x n ∣ − 0 ∣ < ϵ \Delta=||x_n|-0|<\epsilon Δ=∣∣xn∣−0∣<ϵ成立,即 ∣ ∣ x n − 0 ∣ ∣ = ∣ x n − 0 ∣ < ϵ ||x_n-0||=|x_n-0|<\epsilon ∣∣xn−0∣∣=∣xn−0∣<ϵ,从而 lim n → ∞ x n = 0 \lim\limits_{n\to\infin}{x_n}=0 n→∞limxn=0
极限发散证明
证明极限发散,即证明数列极限不存在,仍然可以通过极限的定义入手证明
通常是通过取一个正数 ϵ = ϵ 0 > 0 \epsilon=\epsilon_0>0 ϵ=ϵ0>0说明 ϵ 0 \epsilon_0 ϵ0的取值下,“ ∄ N ∈ Z \not\exist{N}\in\mathbb{Z} ∃N∈Z,能使得当 n > N n>N n>N, ∣ x n − a ∣ < ϵ 0 |x_{n}-a|<\epsilon_0 ∣xn−a∣<ϵ0恒成立”
例:
证明数列 x n = ( − 1 ) n + 1 x_n=(-1)^{n+1} xn=(−1)n+1, ( n = 1 , 2 , ⋯ ) (n=1,2,\cdots) (n=1,2,⋯)是发散的
若数列收敛,则其有唯一极限,不妨设极限存在且等于 a a a,
按极限定义,对于 ∀ ϵ > 0 \forall{\epsilon}>0 ∀ϵ>0, ∃ N ∈ N + \exist{N}\in\mathbb{N_+} ∃N∈N+,当 n > N n>N n>N时有 ∣ x n − a ∣ < ϵ |x_n-a|<\epsilon ∣xn−a∣<ϵ
对于本例,不妨取 ϵ = 1 2 \epsilon=\frac{1}{2} ϵ=21,则 ∣ x n − a ∣ < 1 2 |x_n-a|<\frac{1}{2} ∣xn−a∣<21,而根据 x n x_n xn的同向公式可知, x n x_n xn重复取 − 1 , 1 -1,1 −1,1,当 x n = − 1 x_n=-1 xn=−1时, ∣ − 1 − a ∣ > 1 {|-1-a|}>1 ∣−1−a∣>1,与 ∣ x n − a ∣ < 1 2 |x_n-a|<\frac{1}{2} ∣xn−a∣<21矛盾,从而 { x n } \set{x_n} {xn}不存在极限 a a a
所以 { x n } \set{x_n} {xn}发散
常用数列极限
lim n → ∞ q n \lim\limits_{n\to\infin}{q^{n}} n→∞limqn= 0 0 0, ∣ q ∣ < 1 |q|<1 ∣q∣<1;
lim n → ∞ 1 n α = 0 \lim\limits_{n\to\infin}{\frac{1}{n^{\alpha}}}=0 n→∞limnα1=0, α > 0 \alpha>0 α>0
数列极限的几何意义
lim n → ∞ x n = a \lim\limits_{n\to{\infin}}x_n=a n→∞limxn=a的几何意义是:以数轴为背景,对于 a a a点的任意 ϵ \epsilon ϵ邻域 U ( a , ϵ ) U(a,\epsilon) U(a,ϵ),即开区间 ( a − ϵ , a + ϵ ) (a-\epsilon,a+\epsilon) (a−ϵ,a+ϵ),一定存在 N N N,使得当 n > N n>N n>N,即第 N N N项后的点 x n x_n xn都落在开区间 U ( a , ϵ ) U(a,\epsilon) U(a,ϵ)内,而只有有限个点落在该区间以外
例
lim n → ∞ ( n + 1 n ) ( − 1 ) n \lim\limits_{n\to\infin}(\frac{n+1}{n})^{(-1)^{n}} n→∞lim(nn+1)(−1)n= 1 1 1
分析: lim n → ∞ ( 2 n 2 n − 1 ) \lim\limits_{n\to\infin}(\frac{2n}{2n-1}) n→∞lim(2n−12n)=1; lim n → ∞ ( 2 n + 1 2 n ) \lim\limits_{n\to\infin}(\frac{2n+1}{2n}) n→∞lim(2n2n+1)=1
