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先举两个简单的例子，看上面的图片。

线性回归主要功能是拟合数据。
逻辑回归主要功能是区分数据，找到决策边界。

线性回归的代价函数常用平方误差函数。
逻辑回归的代价函数常用交叉熵。

参数优化的方法都是常用梯度下降。

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1 线性回归（Linear Regression）

1.1 建立问题

举个例子，你有一组面积&房价的数据。

现在你有个朋友想要卖房子，他的房子是1250平方英尺，大概能卖多少钱？

我们可以根据这组数据，建立一个模型，然后用这组数据集去拟合模型。拟合完毕后，输入1250，它就会告诉你朋友能卖多少钱。

看起来这组数据似乎分布在一条直线附近：

好，只要找到这条直线的方程，你就能根据面积来预测房价了。（在这个例子里，直线方程就是我们要拟合的模型）

如何找到直线方程？方法就是，线性回归。

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补充讲一下，这是一个属于监督学习（Supervised Learning）的问题：每个例子都有一个 “正确答案”，我们知道每一个面积对对应一个确定的房价。

而且这还是一个回归问题（Regression Problem）。回归问题指的是，我们预测一个具体的数值输出，也就是房价。

另外再讲一下，监督学习中还有一种被称为分类问题（Classification Problem），我们用它来预测离散值输出。比如观察肿瘤的大小，来判断是良性还是恶性的，输出只有2种：[0]良性，[1]恶性。

然后，这是你的数据集：

1.2 建立模型

现在有一个假设函数 $h$，它的英文名叫 hypothesis。至于为什么叫 hypothesis，这是一个历史问题，反正机器学习里面都这样叫的。

我们要做的是，通过训练集+机器学习算法，学习到这个函数，即 $y=h(x)$。并且输入和输出的值满足上面的数据集表格。

函数 $h$ 应该长什么样子？在这个例子里它是这样的：$$h_{\mathbf{\theta }}(x)={\theta }_0+{\theta }_{1}x\text{\hspace{1em}(1)}$$下标 $\mathbf{\theta }$ 的意思是，函数 $h$ 的参数是 $\mathbf{\theta }$（在这个例子里 $\mathbf{\theta }$ 包括 ${\theta }_0$ 和 ${\theta }_1$，是两个常数）。

显而易见它是一个直线方程：

有时候 $\mathbf{\theta }$ 不止 2 个，例如 $h_{\mathbf{\theta }}(x)={\theta }_0+{\theta }_{1}x+{\theta }_2{x}^2+{\theta }_3{x}^3...$ 但是在这个例子里不需要这么复杂的函数。

它是一条简单的直线，不包含非线性项（$x$的平方、$x$的三次方之类的）。（所以也叫线性回归？）
而且只有一个输入变量 $x$，又叫做单变量线性回归。

现在数据也有了，模型也有了，我们要做的事情就是利用已知数据找到这两个参数： ${\theta }_0$ 和 ${\theta }_1$。

1.3 代价函数

我们知道，选择不同的 ${\theta }_0$ 和 ${\theta }_1$ 的组合，会得到不同的直线：

这几条直线都不是我们想要的，我们要找的直线应该像这样：

假设每个数据点到直线的距离为 $d_i$，把所有距离加起来： $\sum d_i$ 。

调整直线，重新计算 $\sum d_i$，当直线处于某个位置时，算到的 $\sum d_i$ 最小，这条直线就对了。

假设有 $i$ 个样本，每个样本用 $(x^i,y^i)$ 表示。则：$$d_i={\left(h_{\mathbf{\theta }}\left(x^i\right)-y^i\right)}^2$$
之所以取平方，是因为我们要的距离应该是正数，而直接相减可能有正有负。
（取绝对值也可以，不过取平方方便后面计算。）
（这看起来很像最小二乘法）

把所有样本加起来：$$\sum _{i=1}^m{d}_i=\sum _{i=1}^m{\left(h_{\mathbf{\theta }}\left(x^i\right)-y^i\right)}^2$$其中 $m$ 表示我们有 $m$ 个样本。

所以我们的任务是：找到一组合适的 ${\theta }_0$ 和 ${\theta }_1$ ，使上面求和的结果最小。

再改变一下写法：$$J({\theta }_0,{\theta }_1)=\frac{1}{2m}\sum _{i=1}^m{\left(h_{\mathbf{\theta }}\left(x^i\right)-y^i\right)}^2\text{\hspace{1em}(2)}$$

意思也是一样，要找一组 ${\theta }_0$ 和 $\theta$